PROPRIETE
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COURS DE RDM
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GONNET_2003
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RESISTANCE DES MATERIAUX
INTRODUCTION - HYPOTHESES
1. En quoi ça consiste ?
Pour effectuer un calcul de RDM, il est nécessaire de
connaître les actions mécaniques exercées sur le mécanisme (actions déterminées
dans l’étude de dynamique) et les matériaux utilisés.
L’étude de RDM va permettre de définir les sollicitations et
les contraintes qui en résultent. A l’aide des caractéristiques des matériaux
(propriétés mécaniques), nous allons pouvoir en déduire les déformations du
matériau, et dans les cas extrêmes, sa rupture.
2. Introduction
La résistance des matériaux n’étudie que des solides de formes
simples : les « poutres ». Bien souvent, il est possible de modéliser des
solides par une poutre, à la condition que ceux-ci respectent certaines
hypothèses. L’objet de ce cours est de présenter les hypothèses de la RDM,
préalable indispensable à l’étude.
La résistance des matériaux est l’étude de la résistance et de
la déformation des solides (arbres de transmissions, bâtiments, diverses pièces
mécaniques…) dans le but de déterminer ou vérifier leurs dimensions afin qu’ils
supportent les charges qu’ils subissent, dans des conditions de sécurité
satisfaisantes et au meilleur coût (optimisation des formes, des dimensions,
des matériaux…) . Son domaine d’application étant très large et les situations
rencontrées nombreuses et variées, il est nécessaire de mettre en place des
hypothèses simplificatrices dans le but de standardiser les cas d’étude.
La photo ci-contre représente un magnifique chariot élévateur
d’un domaine viticole d’un village bourguignon (commençant par un C et
finissant par un S…), mondialement connu pour ses vins blancs. Ce chariot
élévateur est destiné à divers travaux sur l’exploitation, et en fonction de
son utilisation, nous nous intéresserons plus particulièrement aux fourches de
ce chariot.
FIGURE : CHARIOT ELEVATEUR
3. Hypothèses
Dans
ce paragraphe, nous allons citer les différentes hypothèses que l’on est en droit de formuler dans le cadre de la Résistance des Matériaux. La figure
suivante montre l’application au fourches du chariot élévateur.
FIGURE : FOURCHE DU MAGNIFIQUE CHARIOT ELEVATEUR
3.1 Le
matériau
3.1.1 Continuité
de la matière
Lorsqu’on
regarde au microscope la coupe d’une pièce en métal, on voit généralement une
structure fibreuse, ou quelquefois une structure granulaire. Toutefois, les
distances entre ces fibres ou ces grains sont très petites par rapport aux
dimensions des plus petites pièces mécaniques qui sont étudiées.
On peut alors raisonnablement
considérer le matériau comme continu.
3.1.2 Homogénéité
On
admet que les matériaux ont les mêmes propriétés mécaniques en tous points.
Cela est à peu près vérifié pour la plupart des métaux, mais il faut savoir que
cette hypothèse n’est qu’une grossière approximation pour les matériaux tels
que le bois ou le béton.
3.1.3 Isotropie
On admet que les matériaux étudiés ont, en un même point, les
mêmes propriétés mécaniques dans toutes les directions. Cela est à peu près
vrai pour les aciers, mais il faut savoir que cette hypothèse est loin de la
réalité pour le bois et les matériaux composites par exemple.
3.2 La géométrie
Les
seuls solides que nous étudierons seront du type poutre (solide idéal du point
de vue de la RDM : solide défini par sa ligne moyenne et sa section droite). La
poutre est un solide dont la longueur est prépondérante devant les autres
dimensions transversales.
FIGURE : NOTION DE POUTRE
Une
poutre est définie par :
v sa
ligne moyenne (ligne droite ou ligne courbe à grand rayon de courbure, sur laquelle se trouve le barycentre G des sections droites). Celle-ci est le plus souvent rectiligne ;
v sa section droite (section
qui engendre la poutre, constante et de centre de surface G). Celle-ci est en principe
constante et son centre de surface est sur la ligne moyenne.
Dans le cas de la fourche du chariot
élévateur :
Bien souvent, les poutres étudiées ne remplissent pas ces conditions.
Les relations établies en tenant compte de ces hypothèses ne s’appliquent pas
parfaitement, d’où la nécessité d’introduire un coefficient de sécurité dans
les calculs de dimensionnement.
3.3 Les
forces appliquées
3.3.1 Plans de
symétries
Les
forces extérieures appliquées à la poutre (P) seront situées soit dans le plan
de symétrie (PS), soit symétriquement par rapport au
plan de symétrie.
3.3.2 Points ou zones d’application des forces
En
RDM, il n’est pas possible de remplacer un système de forces par un système
équivalent du point de vue de l’équilibre car les effets physiques
(déformations, contraintes…) sont différents.
Dans
les deux cas, la poutre est en équilibre, mais par contre les déformations sont
totalement différentes.
On
fait également les approximations suivantes :
F
les contacts de la
poutre et du milieu extérieur s’effectuent au niveau de la ligne moyenne ;
F
les supports des
forces représentant les actions de contact ne sont pas déplacés après
déformation.
Reprenons
le cas de la fourche du chariot élévateur (toujours aussi magnifique) :
3.3.3
Types de forces
extérieures
On
distingue les actions à distance et les actions de contact.
Actions
à distance : poids, magnétisme…
Actions
de contact : charges concentrées en un point ou charges réparties.
3.3.3.1 Charges concentrées
en un point
Dans
le cas de la fourche du chariot élévateur :
Exemple :
reprenons le cas de la fourche du chariot élévateur.
Données
du problème :
v
le chariot transporte
un fût de vin de Chablis Grand Cru les Clos 2000 ;
v
le fût contient 228
litres ;
Remarque : c’est malheureux à dire,
mais pour faire le calcul, on assimilera la densité de ce divin breuvage à
celle de l’eau…
La masse totale M embarquée sur les fourches
(il y a 2 fourches) du chariot élévateur est donc :
M = 228´1 » 228 kg
Le
poids P s’exerçant sur une fourche est : P = 228´10 = 1140 N
2
L’intensité
de la charge concentrée sur une fourche est alors : P = 1140 N
3.3.3.2 Charge uniformément
répartie
Dans
le cas de la fourche du chariot élévateur :
Exemple :
reprenons le cas de la fourche du chariot élévateur.
Données
du problème :
v
le chariot transporte
une palette de cartons de vin de Chablis Grand Cru les Clos 1998 (cartons «
export » de 6 bouteilles) ;
v
une bouteille (de
75cl) pèse environ 1.3kg ;
v
la palette en bois «
EURO » pèse environ 20kg ;
v
la palette est constituée
de 4 rangs de 13 cartons chacun ;
v
le poids des cartons
(emballage) est négligé.
Calculer
la charge répartie s’exerçant sur une fourche.
Remarque : la résistance des fourches
dépend directement de la géométrie et la section des fourches, déduites du
calcul de la charge embarquée. Au prix des bouteilles transportées, il vaut
mieux ne pas se tromper dans le calcul…
La
masse totale M embarquée sur les
fourches (il y a 2 fourches) du chariot élévateur est donc :
M = [(6 ´1.3)´13]´ 4 + 20 » 426 kg
Le
poids P s’exerçant sur une fourche est : P = 426´10 = 2130 N
2
L’intensité
de la charge répartie sur une fourche est alors : p = 2130 = 1420 N / m
1.5
Dans
ce cas, p
est appelé « densité linéique de force ». C’est par exemple le poids au mètre des
profilés du commerce (unité : N/m).
r
On
a : F = p × l
Exemple : une poutre de longueur
totale répartie de :
l = 2.5 m et de poids total P = 3750 N est soumise à une
charge
p = 3750 = 1500 N
m 2.5
3.4
Déformation
3.4.1 Hypothèse
de Navier – Bernouilli
Au cours des déformations, les sections droites
restent planes et perpendiculaires à la ligne moyenne
3.4.2 Hypothèse
de Barré de Saint Venant
Les
résultats de la RDM ne s’applique valablement qu’à une distance suffisamment
éloignée de la région d’application des forces concentrées. En effet, nous ne
pouvons pas, avec les équations de la RDM, calculer les déformations locales
autour d’un point d’application d’une force.
4. Résolution
Organigramme de résolution
d’un problème de RDM :
Voilà, c’est
tout pour aujourd’hui…
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